Consigne: Montrer que $$\operatorname{signature}((i_1,\ldots,i_k))=(-1)^{k-1}$$

Produit de transpositions

On sait qu'un cycle de longueur \(k\) peut s'écrire comme un produit de \(k-1\) transpositions. Or, la signature d'une transposition est \(-1\).
La signature du cycle est donc le produit de chacune des signatures des transpositions, soit \((-1)^{k-1}\).

(Permutation, Signature d’une composition de permutations)

Consigne: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline f(n)&2&3&5&7&1&4&8&10&9&6\\ \hline g(n)&10&9&8&1&2&3&7&6&4&5\end{array}$$
Calculer \(\epsilon(f^{2022}gf^{-46}g^{2023}f)\)

Séparer les compositions et simplifier les puissances paires
$$\begin{align}\epsilon(f^{2022}gf^{-46}g^{2023}f)&=\epsilon(f^{2022})\epsilon(g)\epsilon(f^{-46})\epsilon(g^{2023})\epsilon(f)\\ &=\epsilon(f)\end{align}$$

Écrire \(f\) comme des cycles pour obtenir sa signature et conclure

Or, \(f=(1235)(4\,7\,8\,10\,6)\) donc le signe de \(f\) est $$\epsilon(f)=(-1)^{3}\times(-1)^4=-1$$
On a donc \(\epsilon(f^{2022}gf^{-46}g^{2023}f)=-1\)

(Signature d’une composition de permutations)